I numeri razionali sono ordinabili, infiniti e come visto per Z che è un ampliamento di N, qui, Q è un ampliamento di Z.

Una frazione è un rapporto tra due numeri interi:
Il primo numero prende il nome di numeratore.
Il secondo numero si chiama denominatore e non può essere 0.

Una frazione può essere:

• Propria m<n
• Apparente m multiplo di n
• Impropria m>n

La rappresentazione avviene attraverso una semiretta orientata dove il punto d’origine è dato dallo zero, a sinistra sono presenti le frazioni negative e a destra le frazioni positive. Viene definita l’unità di misura rappresentata dal denominatore.

Nel caso in cui le frazioni hanno denominatore diverso è necessario ricavate il mcm.

Frazioni equivalenti

Due frazioni sono equivalenti solo se il prodotto in croce di numeratori e denominatori dà lo stesso risultato.
Esempio:  

sono equivalenti perché 3×8 = 4×6.

Proprietà invariantiva

Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero naturale diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente.

Esempio:

Semplificazione

Una frazione è irriducibile o ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono primi fra loro. Vanno divisi per il MCD.

• 2 numeri razionali sono concordi se hanno lo stesso segno.
• 2 numeri razionali sono discordi se hanno segno diverso.
• Il valore assoluto di un numero è sempre positivo, nel caso di numero negativo corrisponde al suo opposto.

Numeri Razionali Assoluti e Numeri Razionali Relativi

I numeri razionali assoluti prendono in considerazione solo i valori assoluti (numeri naturali quindi interi positivi) mentre i numeri razionali relativi prendono in considerazione i numeri interi (positivi e negativi)

Le operazioni dei Numeri Razionali Q

Addizione

L’addizione di due numeri razionali con numeratore diverso e stesso denominatore dà per risultato la somma dei numeratori con denominatore invariato.

Esempio:

Se una frazione ha sia il numeratore sia il denominatore diverso bisogna trovare il mcm e trasformarla in una frazione equivalente.

Esempio:

(Valgono le stesse regole e proprietà dei numeri naturali N e interi Z)

CONCORDI (stesso segno)	Dà sempre segno positivo;
DISCORDI (segno diverso)	Dà sempre segno negativo;

• 0 è l’elemento neutro dell’addizione perché non fa cambiare il risultato. Es. 5+0=5.
• La somma tra due opposti è sempre zero.

Le proprietà

• Commutativa dell’addizione: cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia;
  Es. 6+2=8 come 2+6=8.
• Associativa dell’addizione: la somma non cambia associando diversamente tre o più addendi;
  Es. (6+2) +3=6+(2+3).
• Distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: vedere sotto.

Sottrazione

La sottrazione di due numeri razionali con numeratore diverso e stesso denominatore dà per risultato la differenza dei numeratori con denominatore invariato.

Esempio: –

Se una frazione ha sia il numeratore sia il denominatore diverso bisogna trovare il mcm e trasformarla in una frazione equivalente.

(Valgono le stesse regole e proprietà dei numeri naturali N e interi Z)

CONCORDI (stesso segno)	Dà sempre segno positivo;
DISCORDI (segno diverso)	Dà sempre segno negativo;

Le proprietà

• Invariantiva della sottrazione: il risultato non cambia se a ognuno aggiungiamo o sottraiamo lo stesso numero. Es.: 15-11=4 si può fare anche come (15+7) -(11+7) =4 oppure (15-7) -(11-7) =4.

Moltiplicazione

È il prodotto di numeratori e denominatori.

Esempio:

(Valgono le stesse regole e proprietà dei numeri naturali N e interi Z)

CONCORDI (stesso segno diverso da 0)	Dà sempre segno positivo; Es. +5×6=30; -5x (-6) =30.
DISCORDI (segno diverso differente da 0)	Dà sempre segno negativo; Es.: +5x (-6) =-30; -5x (+6) =-30.

• 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione perché non fa cambiare il risultato. Es. 5×1=5.
• 0 è l’elemento assorbente della moltiplicazione perché azzera il risultato. Es. 5×0=0.

Le proprietà

• Commutativa della moltiplicazione: cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia;
  Es. 4×3=12 come 3×4=12.
• Associativa della moltiplicazione: il prodotto non cambia associano diversamente tre o più fattori; Es. (3×5) x2=3x(5×2).
• Distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: il prodotto di un numero per una somma è uguale alla somma di prodotti fra il numero e ognuno degli addendi, può essere a sinistra o a destra in base alla posizione del fattore; Es. 5x (2+3) =5×2+5×3
• Distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: con il sottraendo minore o uguale a al minuendo Es. Sì 5-3 No 5-6. Es. da sinistra 5x (7-1) = 5×7 -5×1 o da destra (12-3) x2=12×2-3×2.

Divisione

Il quoziente deve essere trasformato in prodotto con l’inversione (reciproca) della seconda frazione e poi effettuare la moltiplicazione di numeratori e denominatori.

Esempio:

(Valgono le stesse regole e proprietà dei numeri naturali N e interi Z)

CONCORDI (stesso segno diverso da 0)	Dà sempre segno positivo.
DISCORDI (segno diverso differente da 0)	Dà sempre segno negativo.

NON è presente la proprietà distributiva a sinistra!

Le proprietà

• Distributiva della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione: con il divisore diverso da zero. Es. solo da destra con addizione: (6+8):2 = 6:2+8:2; da destra con sottrazione: (15-9):3=15:3-9:3.
• Invariantiva della divisione: il risultato non cambia se a ognuno moltiplichiamo o dividiamo lo stesso numero. Es. 20:10=2; si può fare come (20*2) :(10*2) =2 oppure (20:2) :(10:2) =2.

La potenza e le sue cinque proprietà

Potenze con esponente negativo

Come nel caso della divisione si effettua la reciprocità, invertendo il denominatore con il numeratore ma mantenendo lo stesso segno mentre l’esponente diventa positivo.

(Valgono le stesse regole e proprietà dei numeri naturali N e interi Z)

-SEGNO NEGATIVO	Con base negativa ed esponente dispari.
+SEGNO POSITIVO	Con base negativa ed esponente pari.Con base positiva ed esponente pari o dispari.

La potenza è il prodotto di un fattore (base) per n volte (esponente).
Esempio: 2⁸ abbiamo 2 come base che viene moltiplicata otto volte (l’esponente) per sé stessa, il risultato è: 256.
Importante! qualsiasi numero elevato a 1 dà sé stesso, es. 8¹=8 mentre se è elevato a 0 dà 1, es. 8⁰=1. Zero elevato a zero è impossibile 0⁰.

Le proprietà:

• Prodotto di potenza con stessa base, eseguo la somma degli esponenti.
  Esempio: 5²·5⁴=5⁶
• Quoziente di potenza con stessa base, eseguo la differenza degli esponenti.
  Esempio: 5⁷:5⁴=5³
• Potenza di potenza, eseguo il prodotto tra gli esponenti.
  Esempio: (3³)⁶⁼3¹⁸
• Prodotto di potenza con stesso esponente, eseguo il prodotto delle basi.
  Esempio: 6²·5²=30²

Quoziente di potenza con stesso esponente, eseguo il quoziente delle basi.
Esempio: 10⁴:2⁴=5⁴

Differenze

Numeri Naturali	Numeri Interi	Numeri Razionali
N	Z	Q
Numeri positivi +0; infiniti; ordinabili; confrontabili.	Numeri negativi e positivi; origine 0; infiniti; ordinabili; confrontabili.	Frazioni con numeri negativi e positivi; origine 0; infiniti; ordinabili; confrontabili.
Somma e Prodotto operazioni interne perché danno sempre un numero naturale	Somma, differenza e prodotto operazioni interne perché danno sempre un numero intero.	Somma, differenza, prodotto e quoziente sono operazioni interne perché danno un numero razionale (frazione).
Proprietà associativa, commutativa e distributiva dell’addizione e della moltiplicazione; Proprietà invariativa e distributiva della sottrazione e della divisione; 5 proprietà delle potenze.	Proprietà associativa, commutativa e distributiva dell’addizione e della moltiplicazione; Proprietà invariativa e distributiva della sottrazione e della divisione; 5 proprietà delle potenze.	Proprietà associativa, commutativa e distributiva dell’addizione e della moltiplicazione; Proprietà invariativa e distributiva della sottrazione e della divisione; 5 proprietà delle potenze.
		Potenze con esponenti negativi.
N è un sottoinsieme di Z.		Q è un sottoinsieme di Z.
	(-2)^2=4 (-2)^3=-8 Segno negativo ed esponente dispari.   (-2)^-2= ¼ (-2)^-3= -1/8 Segno negativo esponente dispari e reciproco.	(-1/2)^2=1/4 (-1/2)^3=-1/8   (-1/2)^-2=4 (-1/2)^3=-1/8 Segno negativo esponente dispari e reciproco.

Su Excel

La gestione delle frazioni su Excel avviene tramite la formattazione della cella come formattazione solo così è possibile eseguire espressioni con le frazioni.

Infine ecco alcuni esercizi con le frazioni.