Spieghiamo i numeri naturali N utilizzando un foglio di calcolo Excel. Definizioni, operatori di confronto le quattro operazioni aritmetiche e le potenze con le proprietà, numeri primi, MCD e mcm.

Definizioni e Rappresentazione

Si rappresentano in una semiretta orientata dove il punto d’origine è lo zero e tutti gli altri numeri seguono a destra. I numeri naturali si identificano con la lettera N, sono infiniti e ordinabili.

Per ogni numero N diverso da zero esiste il precedente e il successivo.
I numeri N sono discreti cioè tra un numero N e il successivo non c’è alcun altro numero naturale.

• < Minore (più piccolo)
• > Maggiore (più grande)
• = Uguale
• ≤  Minore uguale (più piccolo o lo stesso valore)
• ≥  Maggiore uguale (più grande o lo stesso valore)
• ≠  Diverso (qualsiasi valore diverso da quello indicato)

Su Excel:

Utilizzando la funzione MAX e MIN è possibile conoscere subito il valore più grande e più piccolo in un intervallo di numeri.

MAX(A1:A10) oppure MIN(A1:A10)

Gli operatori di confronto, spesso, si utilizzano in funzioni logiche come SE dove bisogna confrontare una condizione che può essere vera o falsa.
Nota: diverso su Excel si indica con <>.

=SE(A1>2;”ok”,”errore”);

Le variabili

Per definire una variabile compresa tra due valori usiamo la seguenti sintassi:

5<X<9

X può assumere un valore compreso nell’intervallo tra 6 e 8.

Se, invece, scrivessi:

5≤ X≤ 9

X assumerebbe un valore tra 5 e 9.

Su Excel

Nelle formule si utilizzano i riferimenti alle celle che corrispondono a tutti gli effetti a delle variabili. Tali riferimenti possono essere relativi, assoluti e misti.

A1 e A2 sono le celle dove inserire le variabili. A3, invece, dove eseguire l’operazione la cui formula, una volta creata, non verrà modificata. Su A3 si può fare:

• Il simbolo = uguale consente di inserire una funzione o un riferimento a una cella
• Una variabile su Excel è definita da una cella la cui intersezione è data tra la lettera della colonna e il numero di riga C4
• Per indicare un intervallo di valore si utilizzano i due punti : A1:A10
• La somma tra due numeri: A1+A2
• La differenza tra due numeri: A1-A2
• Il quoziente tra due numeri: A1/A2 si usa lo slash /
• Il prodotto tra due numeri: A1*A2 si usa l’asterisco *
• potenza: A1^A2 si usa ^!
• il precedente di un numero: A1-1
• il successivo di un numero: A1+1
• il doppio di un numero: A1*2
• il triplo di un numero: A1*3
• la metà di un numero: A1/2
• la terza parte di un numero: A1/3
• il quadrato di un numero: A1^2
• il cubo di un numero: A1^3
• un numero elevato alla quarta: A1^4

Espressioni

Le espressioni si risolvono svolgendo prima le operazioni all’interno delle parentesi:

• Tonde ()
• Quadrate []
• Graffe {}

Hanno la precedenza le seguenti operazioni:

• Potenze
• Moltiplicazioni e Divisioni
• Addizioni e Sottrazioni

Su Excel:

Si usano solamente le parentesi tonde nonostante da tastiera sia possibile l’inserimento di parentesi quadrate e graffe.

Una classica espressione elementare è la media aritmetica data dalla formula della somma di n elementi diviso per la loro quantità:

=MEDIA(A1+A2+A3)/3

oppure =MEDIA(A1:A3)

Addizione

Addizione e moltiplicazione sono operazioni interne perché il risultato dà sempre un numero naturale N.

Addendo + Addendo = Somma; Es. 5+4=9

• 0 è l’elemento neutro dell’addizione perché non fa cambiare il risultato. Es. 5+0=5.

Le proprietà

• Commutativa dell’addizione: cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia;
  Es. 6+2=8 come 2+6=8.
• Associativa dell’addizione: la somma non cambia associando diversamente tre o più addendi;
  Es. (6+2) +3=6+(2+3).

Moltiplicazione

Fattore x Fattore = Prodotto; Es. 3×2=6

• 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione perché non fa cambiare il risultato. Es. 5×1=5.
• 0 è l’elemento assorbente della moltiplicazione perché azzera il risultato. Es. 5×0=0.
  Legge di annullamento del prodotto si ha quando uno dei due fattori è 0.

Le proprietà

• Commutativa della moltiplicazione: cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia;
  Es. 4×3=12 come 3×4=12.
• Associativa della moltiplicazione: il prodotto non cambia associano diversamente tre o più fattori; Es. (3×5) x2=3x(5×2).
• Distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: il prodotto di un numero per una somma è uguale alla somma di prodotti fra il numero e ognuno degli addendi, può essere a sinistra o a destra in base alla posizione del fattore; Es. 5x (2+3) =5×2+5×3

• Addizione e moltiplicazione sono operazioni interne poiché il risultato dà sempre un N naturale.

Sottrazione

Minuendo – Sottraendo = Differenza; Es. 10-2=8

• Nella sottrazione non è possibile avere un sottraendo maggiore di un minuendo. Es. 7-4=3 4-7=
• La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione. La differenza sommata al sottraendo ci dà il minuendo; es. 5-2=3 3+2=5.

Le proprietà

• Invariantiva della sottrazione: il risultato non cambia se a ognuno aggiungiamo o sottraiamo lo stesso numero. Es.: 15-11=4 si può fare anche come (15+7) -(11+7) =4 oppure (15-7) -(11-7) =4.
• Distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: con il sottraendo minore o uguale al minuendo Es. Sì 5-3 No 5-6. Es. da sinistra 5x (7-1) = 5×7 -5×1 o da destra (12-3) x2=12×2-3×2.

Divisione

Dividendo: Divisore = Quoziente; Es. 10:2=5

• Non è possibile dividere per 0. Es. 5:0=impossibile.
• Se il dividendo è 0 e il divisore diverso da 0 il risultato sarà sempre 0. Es. 0:5=0; 5:0=impossibile.
• La divisione è esatta quando non dà resto. Es. 10:2=5 con resto 0; 11:2=5 con resto di 1.
• Nella divisione non è possibile avere un divisore maggiore di un dividendo. Es. 10:2=5 2:10=
• La divisione è l’operazione inversa alla moltiplicazione. Il prodotto tra il quoziente e il divisore ci dà il dividendo; es. 10:2=5 5×2=10.

Le proprietà

• Distributiva della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione: con il divisore diverso da zero. Es. solo da destra con addizione: (6+8):2 = 6:2+8:2; da destra con sottrazione: (15-9):3=15:3-9:3.
• Invariantiva della divisione: il risultato non cambia se a ognuno moltiplichiamo o dividiamo lo stesso numero. Es. 20:10=2; si può fare come (20*2) :(10*2) =2 oppure (20:2) :(10:2) =2.

• Sottrazione e divisione NON sono operazioni interne.

Su Excel:

Se si tenta di dividere per zero restituisce errore

=5:0 ->DIV/0!

La Potenza e le sue 5 proprietà

La potenza è il prodotto di un fattore (base) per n volte (esponente).
Esempio: 2⁸ abbiamo 2 come base che viene moltiplicata otto volte (l’esponente) per sé stessa, il risultato è: 256.
Importante! qualsiasi numero elevato a 1 dà sé stesso, es. 8¹=8 mentre se è elevato a 0 dà 1, es. 8⁰=1. Zero elevato a zero è impossibile 0⁰.

Le proprietà si applicano solo per prodotti e quozienti
con stessa base o stesso esponente!

• Prodotto di potenza con stessa base, eseguo la somma degli esponenti.
  Esempio: 5²·5⁴=5⁶
• Quoziente di potenza con stessa base, eseguo la differenza degli esponenti.
  Esempio: 5⁷:5⁴=5³
• Potenza di potenza, eseguo il prodotto tra gli esponenti.
  Esempio: (3³)⁶⁼3¹⁸
• Prodotto di potenza con stesso esponente, eseguo il prodotto delle basi.
  Esempio: 6²·5²=30²
• Quoziente di potenza con stesso esponente, eseguo il quoziente delle basi.
  Esempio: 10⁴:2⁴=5⁴

Su Excel:

Se si tenta di eseguire la potenza di 0 elevato a sé stesso, dà errore

=0^0 ->NUM!

Numeri Primi

Qualsiasi numero diverso da 0 e da 1 che è divisibile solo per sé stesso e per 1.
L’unico numero pari, tra i numeri primi, è il 2.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 … sono infiniti

La scomposizione in fattori primi avviene dividendo per un numero primo fino ad ottenere 1.

MCD

Massimo Comune Divisore è il numero più grande tra i divisori comuni.

Es. 12 e 18

12 è divisibile per 2, 3, 4, 6, 12

18 è divisibile per 2, 3, 6, 9, 18 MCD (12; 18) =6

Su Excel:

Esiste la funzione MCD(valore1; valore2) oppure MCD(riferimento cella1; riferimento cella2)

mcm

minimo comune multiplo è il numero più piccolo tra multipli comuni diversi da zero.

Es. 12 e 18

I multipli di 12 sono 12, 24, 36, 48 …

I multipli di 18 sono 18, 36, 54 … mcm (12; 18) = 36

Su Excel:

Esiste la funzione mcm(valore1; valore2) oppure MCD(riferimento cella1; riferimento cella2)

Esercizi

Alcuni test tratti dal sito Zanichelli.